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斯克尔斯期权定价模型

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    在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。在过去的２０年中，投资者通过运用布莱克———斯克尔斯期权定价模型，将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。本文着重分析了布莱克———斯克尔斯期权公式的推导并就其应用与发展作了进一步的介绍。认为该模型的思想方法能为今后我国期权市场的公正合理运作提供某些借鉴

    1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿(ＲｏｂｅｒｔＭｅｒｔｏｎ)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ)。他们创立和发展的布莱克———斯克尔斯期权定价模型(Ｂｌａｃｋ-ＳｃｈｏｌｅｓＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇＭｏｄｅｌ)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。

    斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(ＦｉｓｃｈｅｒＢｌａｃｋ)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果,两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(ＴｈｅＲｏｙａｌＳｗｅｄｉｓｈＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。

    一、布莱克—斯克尔斯定价模型(以下简称Ｂ-Ｓ模型)及其假设条件

    (一)Ｂ-Ｓ模型有5个重要的假设

    1金融资产收益率服从对数正态分布;

    2在期权有效期内,无风险利率和金融资产收益变量是恒定的;

    3市场无摩擦,即不存在税收和交易成本;

    4金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃);

    5该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施。

    (二)荣获诺贝尔经济学奖的Ｂ-Ｓ定价公式

    Ｃ=Ｓ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2)

    其中:

    ｄ1=1ｎＳＬ+(γ+σ22)Ｔσ·Ｔ

    ｄ2=ｄ1-σ·Ｔ

    Ｃ—期权初始合理价格

    Ｌ—期权交割价格

    Ｓ—所交易金融资产现价

    Ｔ—期权有效期

    ｒ—连续复利计无风险利率

    σ2—年度化方差

    Ｎ()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：

    第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为ｒ0)一般是一年复利一次,而ｒ要求利率连续复利。ｒ0必须转化为ｒ方能代入上式计算。两者换算关系为:ｒ=ｌｎ(1+ｒ0)或ｒ0=ｅｒ-1。例如ｒ0=0.06,则ｒ=ｌｎ(1+0.06)=0853,即100以583%的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用ｒ0=0.06计算的答案一致。

    第二,期权有效期Ｔ的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则Ｔ=100365=0.274。

    二、Ｂ-Ｓ定价模型的推导与运用

    (一)Ｂ-Ｓ模型的推导Ｂ-Ｓ模型的推导是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权,其到期的期值是:Ｅ[Ｇ]=Ｅ[ｍａｘ(ＳＴ-Ｌ,Ｏ)]

    其中,Ｅ[Ｇ]—看涨期权到期期望值

    ＳＴ—到期所交易金融资产的市场价值

    Ｌ—期权交割(实施)价

    到期有两种可能情况:

    1、如果ＳＴ>Ｌ,则期权实施以进帐(ｉｎ-ｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ)生效,且ｍａｘ(ＳＴ-Ｌ,Ｏ)=ＳＴ-Ｌ

    2、如果ＳＴＬ)+(1-Ｐ)×Ｏ=Ｐ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]-Ｌ)

    其中:Ｐ—(ＳＴ>Ｌ)的概率Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]—既定(ＳＴ>Ｌ)下ＳＴ的期望值将Ｅ[Ｇ]按有效期无风险连续复利ｒＴ贴现,得期权初始合理价格:

    Ｃ=ｐ×ｅ-ｒＴ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]-Ｌ)(*)这样期权定价转化为确定Ｐ和Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]。

    首先,对收益进行定义。与利率一致,收益为金融资产期权交割日市场价格(ＳＴ)与现价(Ｓ)比值的对数值,即收益=1ｎＳＴＳ。由假设1收益服从对数正态分布,即1ｎＳＴＳ～Ｎ(μｔ,σｔ2),所以Ｅ[1ｎ(ＳＴＳ]=μｔ,ＳＴＳ～ｅＮ(μｔ,σｔ2)可以证明,相对价格期望值大于ｅμｔ,为:Ｅ[ＳＴＳ]=ｅμｔ+σｔ22=ｅμｔ+σ2Ｔ2=ｅγＴ从而,μｔ=Ｔ(γ-σ22),且有σｔ=σＴ。

    其次,求(ＳＴ>Ｌ)的概率Ｐ,也即求收益大于(ＬＳ)的概率。已知正态分布有性质:Ｐｒ06[ζ>χ]=1-Ｎ(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差所以:Ｐ=Ｐｒ06[ＳＴ>1]=Ｐｒ06[1ｎＳＴＳ]>1ｎＬＳ]=1Ｎ-1ｎＬＳ-(γ-σ22)ＴσＴｎｃ4由对称性:1-Ｎ(ｄ)=Ｎ(-ｄ)Ｐ=Ｎ1ｎＳＬ+(γ-σ22)ＴσＴａｒS第三,求既定ＳＴ>Ｌ下ＳＴ的期望值。因为Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>Ｌ]处于正态分布的Ｌ到∞范围,所以,

    Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>=Ｓ·ｅγＴ·Ｎ(ｄ1)Ｎ(ｄ2)

    其中:ｄ1=ｌｎＳＬ+(γ+σ22)ＴσＴｄ2=ｌｎＳＬ+(γ-σ22)ＴσＴ=ｄ1-σＴ

    最后,将Ｐ、Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>Ｌ]代入(*)式整理得Ｂ-Ｓ定价模型:Ｃ=Ｓ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2)

    (二)Ｂ-Ｓ模型应用实例

    假设市场上某股票现价Ｓ为164,无风险连续复利利率γ是0.0521,市场方差σ2为0.0841,那么实施价格Ｌ是165,有效期Ｔ为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:

    ①求ｄ1:ｄ1=(1ｎ164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328

    ②求ｄ2:ｄ2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570

    ③查标准正态分布函数表,得:Ｎ(0.03)=0.5120Ｎ(-0.06)=0.4761

    ④求Ｃ:Ｃ=164×0.5120-165×ｅ-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

    因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75,那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下,购买该看涨期权有利可图。

    (三)看跌期权定价公式的推导

    Ｂ-Ｓ模型是看涨期权的定价公式,根据售出—购进平价理论(ｐｕｔ-ｃａｌｌｐａｒｉｔｙ)可以推导出有效期权的定价模型由售出—购进平价理论,购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值,以公式表示为:Ｓ+Ｐｅ(Ｓ,Ｔ,Ｌ)=Ｃｅ(Ｓ,Ｔ,Ｌ)+Ｌ(1+γ)-Ｔ移项得:Ｐｅ(Ｓ,Ｔ,Ｌ)=Ｃｅ(Ｓ,Ｔ,Ｌ)+Ｌ(1+γ)-Ｔ-Ｓ,将Ｂ-Ｓ模型代入整理得:Ｐ=Ｌ·ｅ-γＴ·[1-Ｎ(ｄ2)]-Ｓ[1-Ｎ(ｄ1)]此即为看跌期权初始价格定价模型。

    三、Ｂ-Ｓ模型的发展、股票分红

    Ｂ-Ｓ模型只解决了不分红股票的期权定价问题,默顿发展了Ｂ-Ｓ模型,使其亦运用于支付红利的股票期权。

    (一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间ｔ(即除息日)支付已知红利Ｄｔ,只需将该红利现值从股票现价Ｓ中除去,将调整后的股票价值Ｓ′代入Ｂ-Ｓ模型中即可:Ｓ′=Ｓ-Ｄｔ·ｅ-ｒｔ。如果在有效期内存在其它所得,依该法一一减去。从而将Ｂ-Ｓ模型变型得新公式:Ｃ=(Ｓ-·ｅ-γｔ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ·ｅ-γｔ·Ｎ(ｄ2)

    (二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利,假如某公司股票年分红率δ为0.04,该股票现值为164,从而该年可望得红利164×004=6.56。值得注意的是,该红利并非分4季支付每季164;事实上,它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的,一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的,实际红利也是变化的,但分红率是固定的。因此,该模型并不要求红利已知或固定,它只要求红利按股票价格的支付比例固定。在此红利现值为:Ｓ(1-ｅ-δＴ),所以Ｓ′=Ｓ·ｅ-δＴ,以Ｓ′代Ｓ,得存在连续红利支付的期权定价公式:Ｃ=Ｓ·ｅ-δＴ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2)

    四、Ｂ-Ｓ模型的影响

    自Ｂ-Ｓ模型1973年首次在政治经济杂志(ＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｏｌｉｔｉｃａｌＥｃｏｎｏｍｙ)发表之后,芝加哥期权交易商们马上意识到它的重要性,很快将Ｂ-Ｓ模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天,该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率,但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖,不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善,但是随着改革的深入和向国际化靠拢,资本市场将不断发展,汇兑制度日渐完善,企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此,对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的,对衍生市场进行探索也是必要的,我们才刚刚起步(zgyg)