编辑导语：在准备一场裂变活动时，你是否曾了解过 K 值、裂变层级，病毒增长模型计算公式、ROI 等名词解释，却困惑于这些数值要达到多少才算好呢？计算参与裂变活动的总用户数的公式是怎么得来的？本文作者用数学逻辑来分析裂变，阐述了裂变的基础知识，一起来看一下吧。
首先，全网最详细不是我标题党啊，等你看完就知道是为什么了。这里讲清楚了全网都没有详细讲清楚的一件事，病毒增长模型的计算公式到底是怎么算出来的。
当我们首次准备策划一场裂变活动时，时间来得及的话，相信大家都会去网上去搜集关于裂变的一些资料。想要知道裂变的底层原理，想要看到一些成功的裂变的案例介绍。如果做项目之前把这块研究较透，掌握了足够多的知识和资料，这样裂变活动开展时心中方可胸有成竹，裂变活动的预期效果心中也有谱。
是的，我也是这样。如果你已经搜集过一番资料，相信也见过 K 值、裂变层级，病毒增长模型计算公式、ROI 等这些名词和解释了。
可能你也和我一样，心里还是有点困惑。这些数值要达到多少才算好呢，为什么计算参与裂变活动的总用户数是这个公式。为什么分母要 K-1，为什么分子是 ( K^t/ct+1 ) -1。
我搜到了原著，原著并没有解释这个公式，我搜了我能搜到的所有文章，都没有解释这个公式，都是对于原著作者的复述。
甚至 Cust ( t ) 的涵义，书中和其他作者写的都不一样，一般来说大家会倾向于相信书里，但是书里的是错的！
不弄明白心里就不舒服，我询问了那些高考数学分数比我高且大学学过数学的 6 个朋友，都说不会……最后，问了刚高考完的弟弟，成功解答！这居然需要用到等比数列求和的数学知识！看来大家工作后把高中知识都忘了，不过不怕，我会把这个推导过程什么的都详细解释清楚的，看完保准不迷糊。
下面，我就用简朴的语言来阐述这些基础知识的涵义和原理。你将收获到的基础知识包含：
从数学意义上讲，裂变是怎么一回事
K 值和裂变层级是什么
病毒增长模型是如何推导出来的，即如何计算参与裂变活动的总用户数
怎么衡量裂变活动的好坏
ROI 和 CAC 的那些事
拼多多的拉新助力提现实例
一、用数学逻辑理解裂变
裂变的原理，其实和疫情的病毒传播的简化模型是一样的，一传二，二传四，四传八……在不加控制的情况下，传播人数呈现指数级增长。我们还原一下病毒传播场景和数学模型。
假设开始时，有一位受感染者
该受感染者经一次传播把疾病传染给了另外两个未受感染的人士
该两位新受感染者继续把各自的病毒传染给了另外两个未受感染的人士
过程持续，直到所有人都收到了感染
根据以上情景，我们可以构建数学模型，y=2^x。就是说，当传播至第 1 轮时，第 1 轮被感染的人数有 2 人。当传播至第 2 轮时，第 2 轮被感染的人数有 4 人。这个案例里，K=2，第一轮第二轮就是感染轮次，即裂变层级。就是如果要计算经过 4 轮传播后的总人数，那总人数就是 2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+1。这个最后的 +1，是加上第一个感染源那个人。
ok，裂变的原理还原为简单的数学就是这样。
二、借用数学还原病毒增长模型
到了最耗脑力的环节了，病毒增长模型的公式推导。
假如你现在负责的产品有 10 万的总用户数，然后老板希望你把总用户提升至 15 万。你打算策划一场为期一周的裂变活动来达成这个目标。假如你策划的裂变活动，所有用户都参与，假设参与度是 100%。
Cust ( 0 ) 是感染源的数量，也就是参与活动的种子用户数，也就是 10 万。
Cust ( t ) 是被感染的所有用户数，也就是裂变活动结束后参与裂变的总用户数，也就是 15 万。
K 指的是每一个感染源可以直接感染多少人，也就是每一个种子用户会拉新多少人。
t/ct，t 是传播总周期，ct 是每一轮次传播所需周期。t/ct 是传播轮次。像拼多多的那个例子，我邀请了 10 的一系列朋友（1 轮），我的朋友们邀请了他们的一系列朋友（2 轮），我朋友的朋友邀请了他们的一系列朋友（3 轮）。在裂变活动期间内，一共裂变了多少层。
当你的产品还没做过任何裂变增长时，你是不知道每种适合你的产品的裂变活动的 k 值和裂变层级的。这时候你会先想一个裂变增长方案，小范围进行灰度测试，监控数据情况，将活动的 k 值和裂变层级优化到一定程度。假设，经过多个版本的优化迭代后，平均 k 值稳定在 2 左右，每一天每一个感染源的平均裂变层级在 3 左右，然后平均获客成本也很合适。这时候你打算放全量上线裂变活动了，你需要告诉老板预估每日该活动的活跃用户数，已知 Cust ( 0 ) ，K=2，t/ct=3，如何求 Cust ( t ) 。
当 Cust ( 0 ) =1 时，Cust ( t ) 总用户数：
当 Cust ( 0 ) =4 时，Cust ( t ) 总用户数：
如果活动全量上线首日，有 1000 个老用户参与了活动。当 Cust ( 0 ) =1000 时，首日拉新用户数 =Cust ( t ) -Cust ( 0 ) =15000-1000=14000。
三、裂变活动是好是坏
我们会有疑问，怎么判断一个裂变活动的设计优劣呢，是根据拉新用户总判断吗，No。
这是自称负责 2020 快手春节红包裂变的一位产品经理讲的衡量标准（三节课里的讲师），可以作为参考。
四、ROI 和 CAC
CAC 拉新成本和 ROI 计算公式如下。
